Table Of Contents

Contents
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
1 Group Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Definitions and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Subgroups and Group Homomorphisms . . . . . . . . . . 4
1.3 Group Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 The Isomorphism Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Group Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Cyclic Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Permutation Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8 p-Groups and the Sylow Theorems . . . . . . . . . . . . . 27
1.9 Solvable and Nilpotent Groups . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.10 Free Groups and Presentations . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.11 Further Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.12 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2 Commutative Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1 Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4 Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5 Module Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.6 Noetherian Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.7 Prime and Maximal Ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.8 Localization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.9 Gauss’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.10 Principal Ideal Domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.11 Field Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.12 Finite Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.13 Further Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.14 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3 Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.1 Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
viii Contents
3.2 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.3 Vector Space Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4 Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.5 The Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.6 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.7 Matrix Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.8 Inner Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.9 Matrix Decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.10 Further Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.11 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.1 Definitions and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.2 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.3 Topological Space Constructions . . . . . . . . . . . . . . 156
4.4 Separation Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.5 Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.6 Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.7 Tychonoff’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.8 Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.9 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.10 Homotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.11 Further Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.12 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5 Real Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.1 Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.2 Infinite Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.3 Uniform Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.4 Differentiation on R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.5 Taylor’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.6 Measurable Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.7 Measurable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.8 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.9 Measure Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.10 Borel Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
5.11 The Fundamental Theorem of Calculus . . . . . . . . . . 238
Contents ix
5.12 Further Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5.13 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
6 Multivariable Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.1 Multivariable Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.2 Multivariable Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
6.3 The Change of Variables Formula . . . . . . . . . . . . . 259
6.4 Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
6.5 Common Derivatives and Integrals . . . . . . . . . . . . . 268
6.6 The Gaussian Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
6.7 The Weierstrass Approximation Theorem . . . . . . . . . 276
6.8 The Constant Rank Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 284
6.9 Further Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
6.10 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
7 Complex Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
7.1 Contour Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
7.2 The Jordan Curve Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
7.3 The Topology of Contours . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
7.4 Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
7.5 The Cauchy–Riemann Equations . . . . . . . . . . . . . . 321
7.6 Cauchy’s Integral Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
7.7 Consequences of Cauchy’s Integral Formula . . . . . . . . 327
7.8 Meromorphic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
7.9 Residues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
7.10 The Open Mapping Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 341
7.11 Tauberian Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
7.12 Further Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
7.13 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
8 Number Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
8.1 Galois Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
8.2 Algebraic Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
8.3 Prime Factorization in Ok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
8.4 Quadratic Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
8.5 Cyclotomic Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
8.6 Diophantine Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
8.7 Quadratic Reciprocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
8.8 Solvability by Radicals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
8.9 The Riemann ζ-Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
8.10 The Prime Number Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 390
8.11 Further Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
8.12 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
9 Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
9.1 Definitions and Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . 401
9.2 Densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
9.3 Lp spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
9.4 The Radon–Nikodym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . 413
9.5 Mean and Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
9.6 Joint Density Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
9.7 Common Probability Distributions . . . . . . . . . . . . . 425
9.8 Convergence of Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . 432
9.9 Higher Moments and Characteristic Functions . . . . . . . 438
9.10 The Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
9.11 Further Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
9.12 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
A.1 Set Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
A.2 The Axiom of Choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
A.3 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
A.4 Real and Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . 463
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
List of Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473